Метрики диагональной кривизны и связанные с ними интегрируемые системы дифференциальной геометрии и математической физики (1)

Метрики диагональной кривизны возникли ещё в классической дифференциальной геометрии при изучении сопряжённых и ортогональных сетей в евклидовом пространстве и ортогональных координат в различных римановых пространствах. Новый интерес к метрикам диагональной кривизны был вызван развитием теории интегрируемых систем математической физики и открытием примерно сорок лет назад С.П.Царёвым замечательного класса полугамильтоновых систем гидродинамического типа, интегрируемых методом обобщённого годографа. Каждой полугамильтоновой системе гидродинамического типа соответствуют метрики диагональной кривизны, и наоборот, любая метрика диагональной кривизны порождает полугамильтоновы системы гидродинамического типа. При этом сама геометрия метрик диагональной кривизны изучена недостаточно, и остаётся много открытых вопросов. Недавно в моих работах было найдено эффективное необходимое условие на метрики диагональной кривизны, связанное с геометрией Хантьеса. В миникурсе будет рассказано о классических и современных задачах дифференциальной геометрии и теории интегрируемых систем, связанных с метриками диагональной кривизны, включая открытые проблемы.