Управляемость некоторых замкнутых квантовых систем

Для описания диффузии в гильбертовом пространстве естественно ввести на этом пространстве меру, инвариантную относительно сдвига, для того, чтобы все направления сдвига были равноправны. Однако, в силу теоремы А. Вейля, на гильбертовом пространстве не существует меры, обладающей всеми свойствами меры Лебега на конечномерном евклидовом пространстве. Для изучения явлений диффузии и квантовой динамики вещественное сепарабельное гильбертово пространство снабжается трансляционно-инвариантной неотрицательной конечно-аддитивной мерой. Получено унитарное представление в пространстве квадратично интегрируемых по инвариантной мере функций гильбертова пространства как группы относительно операции сложения. Построенное унитарное предстваление группы сдвигов на векторы гильбертова пространства не является сильно непрерывным. Найдена максимальная подгруппа сильной непрерывности представления и получено разложение инвариантной меры на эргодические относительно подргуппы сильно непрерывных сдвигов компоненты.
Для исследования диффузии в гильбертовом пространстве исследована полугруппа сверток с гауссовскими мерами на гильбертовом пространстве. Установлено, что полугруппа таких сверток является сильно непрерывной если и только если корень из ковариационного оператора является ядерным. При этом сильно непрерывная полугруппа описывается уравннением диффузии с самосопряженным генератором типа Лапласа-Вольтерра. В противном случае полугруппа сверток с гауссовскими мерами является разрывной полугруппой самосопряженных сжатий. При этом математическое ожидание случайного сдвига аргумента произвольной квадратично интегрируемой функции обращается в нуль во все положительные моменты времени. Это означает, что наблюдение за сверточной эволюцией вектора при аномальной диффузии посредством линейных функционалов фиксирует мгновенное обращение вектора в нуль. Однако наблюдение за сверточной эволюцией вектора при аномальной диффузии посредством квадратичных форм ограниченных линейных операторов фиксирует эволюцию квантового состояния под действием квантовой динамической полугруппы.
Отчасти наблюдаемые эффекты объясняются тем, что в случае сильно непрерывной диффузии каждая эргодическая компонента инвариантной меры инвариантна и относительно случайных сдвигов аргумента, тогда как аномальная диффузия смешивает несчетный набор взаимно сингулярных эргодических компонент.