Автоморфизмы тотального графа матриц над конечным полем

Тотальный граф кольца квадратных матриц над полем - это граф, вершинами которого являются все n x n матрицы над заданным полем, а ребрами соединяются те матрицы, сумма которых вырождена. Одним из важных вопросов при изучении графа является описание его автоморфизмов - биекций на множестве вершин графа, строго сохраняющих отношение смежности вершин. На сегодняшний день, для тотального графа матриц эта задача полностью решена, для любого поля и порядка матриц. В докладе мы обсудим методы решения этой задачи: в основном, для случая конечного поля, где задача интересным образом сводится к комбинаторным соображениям и вычислениям определенных чисел, связанных с матрицами. Но также затронем и случай бесконечного поля, и обсудим связи с другими задачами теории отображений, сохраняющих матричные инварианты.