Достаточные условия S-образности функции Баклея–Леверетта

Уравнение Баклея–Леверетта является одним из самых простых законов сохранения для моделирования двухфазного потока в пористых средах. Это уравнение выглядит следующим образом:
$$ s_t + (f(s))_x = 0, $$
где $s = s(x,t)$ — это водонасыщенность, а $f$ — функция потока, также известная как функция Баклея–Леверетта. Эта функция описывает пропорцию относительных фазовых подвижностей и задается следующим выражением:
$$ f(s) = \dfrac{m_a(s)}{m_a(s) + m_b(1-s)}, $$
где $m_a$ и $m_b$ — относительные подвижности двух фаз (в контексте нефтяных задач — обычно воды и нефти). Эти подвижности часто являются возрастающими выпуклыми функциями.
При решении многих задач используется предположение об S-образности функции Баклея–Леверетта [1]. Вероятно, это вызвано тем, что S-образная функция используется в качестве единственного примера в исходной работе Баклея и Леверетта, и это предположение повторяется во многих последующих работах. Это предположение уже не имеет решающего значения в случае исходного уравнения Баклея–Леверетта, так как задача Римана для него (задача об эволюции разрыва) может быть решена аналитически для любой функции $f$ методом построения выпуклой оболочки, предложенным О. А. Олейник (см. [2,3]). Тем не менее оно все еще играет роль в более общих системах законов сохранения, включающих больше фаз или компонент, или содержащих дополнительные параметры, например, температуру (см. [4–6]). Однако нет исчерпывающих исследований того, когда $f$ на самом деле S-образна. Преобладающее предположение среди инженеров заключается в том, что выпуклые подвижности дают S-образную функцию потока. Даже некоторые математики думают так же. Единственной известной автору статьей (вдохновившей эту работу), изучающей достаточные условия S-образности функции потока, является работа [7]. В этой статье доказано, что когда относительные подвижности фаз являются выпуклыми степенными функциями, функция Баклея–Леверетта S-образна. В ней также говорится, что автор не смог найти контрпримера с выпуклыми подвижностями.
В рамках доклада мы приводим контрпримеры, в которых выпуклые относительные фазовые подвижности дают функцию потока, имеющую больше одной точки перегиба. Кроме того, мы формулируем достаточные условия для S-образности функции Баклея–Леверетта и применяем их к некоторым известным моделям относительных подвижностей. Доклад основан на работе [8].

Список литературы

1. Buckley, S. E. and Leverett, M., “Mechanism of fluid displacement in sands”, Transactions of the AIME, 146:01 (1942), 107–116
2. Олейник, О. А., “Разрывные решения нелинейных дифференциальных уравнений”, Успехи математических наук, 12:3(75) (1957), 3–73
3. Гельфанд, И. М., “Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений”, Успехи математических наук, 14:2(86) (1959), 87–158
4. Johansen, T. and Winther, R., “The solution of the Riemann problem for a hyperbolic system of conservation laws modeling polymer flooding”, SIAM journal on mathematical analysis, 19:3 (1988), 541–566
5. Castañeda, P., Furtado, F. and Marchesin, D., “The convex permeability three-phase flow in reservoirs”, IMPA Preprint Série E-2258, 2013, 1–34
6. Bakharev, F., Enin, A., Petrova, Y. and Rastegaev, N., Impact of dissipation ratio on vanishing viscosity solutions of the Riemann problem for chemical flooding model, arXiv preprint, 2021, arXiv: 2111.15001
7. Castañeda, P., “Dogma: S-shaped”, Math Intelligencer, 38 (2016), 10–13
8. Rastegaev, N., On the sufficient conditions for the S-shaped Buckley-Leverett function, arXiv preprint, 2023, arXiv: 2303.16803