Аннотация:
В $L_{2}(\mathbb{R}^{d})$ рассматривается самосопряженный
ограниченный оператор $\mathbb{A}_{\varepsilon}$, $\varepsilon>0$,
вида
\begin{equation*}
(\mathbb{A}_{\varepsilon}u)(x):=\varepsilon^{-d-2}\int\limits_{\mathbb{R}^{d}}
a((x-y)/\varepsilon)\mu(x/\varepsilon,y/\varepsilon)(u(x)-u(y))\, dy,\ x\in\mathbb{R}^{d},\ \ u\in L_{2}(\mathbb{R}^{d}).
\end{equation*}
Операторы такого типа встречаются при описании поведения случайных
систем большого (бесконечного) числа частиц. Предполагается, что
$a(x)$ — четная неотрицательная функция класса
$L_{1}(\mathbb{R}^{d})$, $\|a\|_{L_{1}}=1$; $\mu(x,y)$ —
ограниченная и положительно определенная функция,
$\mathbb{Z}^{d}$-периодическая по каждой переменной, причем
$\mu(x,y)=\mu(y,x)$. Кроме того, предполагаются конечными моменты
$M_{k}=\int_{\mathbb{R}^{d}}|x|^{k}a(x)dx$, $k=1,2,3$. При
сделанных предположениях оператор $\mathbb{A}_{\varepsilon}$
ограничен, самосопряжен, неотрицателен,
$\min\sigma(\mathbb{A}_{\varepsilon})=0$.
Изучается поведение резольвенты
$(\mathbb{A}_{\varepsilon}+I)^{-1}$ при малом $\varepsilon$. Мы
покажем, что при $\varepsilon\to 0$ оператор
$(\mathbb{A}_{\varepsilon}+I)^{-1}$ сходится по операторной норме
в $L_{2}(\mathbb{R}^{d})$ к резольвенте $(\mathbb{A}^{0}+I)^{-1}$
эффективного оператора. Эффективный оператор представляет собой
эллиптический оператор второго порядка
$\mathbb{A}^{0}=-\operatorname{div}g^{0}\nabla$; матрица $g^{0}$
определяется в терминах решения некоторой вспомогательной задачи
на ячейке периодичности $\Omega:=[0,1)^{d}$. Справедлива оценка
для нормы разности резольвент
\begin{equation*}
\|(\mathbb{A}_{\varepsilon}+I)^{-1}-(\mathbb{A}^{0}+I)^{-1}\|_{L_{2}(\mathbb{R}^
{d})\to
L_{2}(\mathbb{R}^{d})}\leqslant C(a,\mu)\varepsilon,\ \ \varepsilon>0.
\end{equation*}
Метод исследования опирается на теоретико-операторный подход,
который был развит М.Ш. Бирманом и Т.А. Суслиной. Мы обсудим ряд
особенностей нелокального оператора сверточного типа, которые
требуют любопытной модификации теоретико-операторного подхода и
делают задачу усреднения для этого оператора очень интересной.
Доклад основан на совместной работе с Е.А. Жижиной, А.Л. Пятницким и
Т.А. Суслиной.
Обратная связь: