Эффективный асимптотический метод линеаризации задач со свободной границей для уравнений мелкой воды в бассейнах с пологими берегами

Доклад посвящен эффективному методу линеаризации задач со свободной границей для одно- и двумерной системы нелинейных уравнений мелкой воды в бассейнах с пологими берегами. Эффективность означает следующее: внутри бассейна изучаемые (необрушающиеся) решения фактически определяются с помощью “наивно” линеаризованной исходной системы. Однако в окрестности береговой линии(представляющей собой “нестандарную” каустику) эта линеаризация приводит к потере важной информации, такой как динамика набега на берег, величина заплеска волн, описываемых изучаемыми решениями, и т.д. Предлагаемый метод позволяет сравнительно легко восстановить асимптотику решения исходной нелинейной задачи через соответствующие решения линейной задачи в виде параметрически заданных функций. Он основан на серьезной модификации так называемого преобразования Кэрриера-Гринспана в теории одномерной мелкой воды над плоским наклонным дном. Заметим также, что решение линеаризованных задач оказывается нетривиальным, поскольку они описывается уравнениями с вырождающимися на границе коэффициентами и для них нельзя ставить стандартные краевые условия, такие как условия Дирихле или Неймана. Для решения таких задач предлагается использовать недавно развитый метод униформизации, которому посвящен рассказ В.Е. Назайкинского. В качестве приложений мы обсуждаем задачи о волнах цунами, сейшах и береговых волнах. Также мы приводим сравнение получаемых формул с экспериментом.
Доклад основан на совместных работах с В. Калиниченко, Д. Миненковым, Б. Тироцци.