Формальная устойчивость, устойчивость по большинству начальных данных и диффузия в аналитических системах дифференциальных уравнений

Приводится пример аналитической системы дифференциальных уравнений в $\mathbb{R}^6$ с формально устойчивым и устойчивым по большинству начальных данных положением равновесия. С помощью расходящейся формальной замены переменных эта система приводится к гамильтоновой системе с тремя степенями свободы. Почти все фазовое пространство этой системы расслаивается на трехмерные инвариантные торы с квазипериодическими решениями на них. Эти торы не заполняют все фазовое пространство. Несмотря на то, что “зазор” между этими торами имеет нулевую меру, это множество всюду плотно в $\mathbb{R}^6$ и неограниченные фазовые траектории плотны в этом зазоре. В частности, формально устойчивое по Ляпунову положение равновесия неустойчиво. Поведение фазовых траекторий соответствует случаю диффузии в системах, близких к интегрируемым. Доказательства используют теорему Пуанкаре-Дюлака, теорию почти периодических функций и некоторые факты из теории неоднородных диофантовых приближений. Обсуждаются нерешенные проблемы, связанные с рассматриваемым примером.