Модель Джозефсоновского контакта, динамические системы на торе, изомонодромные деформации и уравнения Пенлеве-3

Эффект туннелирования, предсказанный Б. Джозефсоном (Нобелевская премия 1973 г.), относится к Джозефсоновскому контакту: системе из двух сверхпроводников, разделённых достаточно узкой прослойкой из диэлектрика. Он состоит в существовании проходящего через него сверхтока, описываемого уравнениями, открытыми Джозефсоном. Сильно шунтированный Джозефсоновский контакт моделируется семейством динамических систем на двумерном торе, описываемым дифференциальным уравнением, зависящим от трёх параметров: $B$ (абсцисса), $A$ (ордината) и $\omega$ (частота). Мы исследуем число вращения $\rho(B,A;\omega)$ динамической системы как функцию от $(B,A)$ при фиксированной частоте $\omega$. Зоны фазового захвата — это те её множества уровня $L_r=\{\rho=r\}\subset\mathbb R^2_{B,A}$, которые имеют непустую внутренность. Имеет место эффект квантования: зоны захвата существуют только для целых чисел вращения (как показали В. М. Бухштабер, О. В. Карпов, С. И. Тертычный). Каждая зона — это бесконечная гирлянда из областей, уходящих “вертикально” на бесконечность, где каждые две соседние области разделены одной точкой: см. картинки в книгах физиков К. К. Лихарева (1980-е гг.) и К. К. Лихарева – Б. Т. Ульриха (1978 г.); строго доказано А. В. Клименко и О. Л. Ромаскевич). Те из точек раздела, которые не лежат на оси абсцисс, называются перемычками. См. в сборнике аннотаций докладов рисунки зон захвата при $\omega=2$, $1$, $0.3$ по численным экспериментам Бухштабера, Тертычного, В. А. Клепцына, Д. А. Филимонова, И. В. Щуров.
Как видно на картинках, в каждой зоне $L_r$ все перемычки лежат на одной вертикальной прямой с абсциссой $r\omega$. Это было доказано Ю. П. Бибило и докладчиком с помощью эквивалентного описания модели системами линейных дифференциальных уравнений на сфере Римана (полученного Бухштабером, Карповым и Тертычным), с использованием теории явления Стокса и изомонодромных деформаций, связанных с уравнением Пенлеве 3.
Мы представим новое 4-параметрическое семейство динамических систем на торе, включающее вышеописанную модель Джозефсоновского контакта, где тоже есть эффект квантования числа вращения, эквивалентное описание семейством линейных уравнений, а также расслоение пространства параметров на изомонодромные семейства, связанное с уравнением Пенлеве 3. Мы дадим обзор результатов и обсудим открытые проблемы.