Бирациональные перестановки проективной плоскости – 2

Над алгебраически незамкнутым полем $k$ cреди бирациональных автоморфизмов алгебраического многообразия $X$ есть такие, которые регулярны во всех $k$-точках. Эти автоморфизмы называются бирациональными перестановками, они образуют подгруппу в группе бирациональных автоморфизмов, и каждая бирациональная перестановка индуцирует перестановку множества $X(k)$.
Следуя статье Асгарли, Лаи, Накахара и Циммерманн, я покажу, что для гладких поверхностей над конечными полями $\mathbb{F}_q (q=2^m, q>=4)$ четность перестановки, индуцированной бирациональной перестановкой, является бирациональным инвариантом. А также расскажу план доказательства теоремы, которая утверждает, что бирациональные перестановки проективной плоскости над конечными полями $\mathbb{F}_q (q=2^m, q>=4)$ индуцируют только четные перестановки $\mathbb{F}_q$ - точек проективной плоскости.