Импульсное уравнение теплопроводности с инфинитезимальным переходным слоем Вольтерра

Изучается задача Коши для уравнения теплопроводности с нелокальным по времени интегральным младшим членом, который моделирует эффект затухающей памяти и имеет вид свертки нелинейной функции от решения с гладким ядром релаксации. Ядро релаксации содержит малый параметр $\varepsilon>0$ и при стремлении этого параметра к нулю слабо$^\star$ сходится к дельта-функции Дирака, сконцентрированной в некотором моменте времени $t=\tau$. В свою очередь, дельта-функция Дирака моделирует ударное (импульсное) усилие в момент $t=\tau$. Мы устанавливаем, что при $\varepsilon \to 0$ формируется переходный импульсный слой, ассоциированный с дельта-функцией Дирака, и что семейство слабых решений рассматриваемой задачи сходится к решению двухмасштабной модели, которая состоит из двух уравнений, начального условия и условий согласования, так что «внешнее» макроскопическое решение за пределами переходного слоя определяется на макроскопической («медленной») временной шкале и является решением классического однородного уравнения теплопроводности, в то время как решение в переходном слое определяется на микроскопической («быстрой») временной шкале и удовлетворяет интегро-дифференциальному уравнению Вольтерры, наследующему в своей форме структуру профиля релаксации.
Доклад основан на совместной работе с И. В. Кузнецовым (ИГиЛ СО РАН). В полном виде работа опубликована в Journal of Elliptic and Parabolic Equations (doi.org/10.1007/s41808-022-00182-9). Исследование выполнено при финансовой поддержке проекта «Современные методы гидродинамики для задач природопользования, индустриальных систем и полярной механики» (2020-23) (гос. задание FZMW-2020-0008 от 24.01.2020).