$L_{p}$-аппроксимации решений параболических уравнений второго порядка на многообразиях ограниченной геометрии

В работе рассматривается задача Коши для параболического уравнения с частными про- изводными в римановом многообразии ограниченной геометрии. Класс многообразий огра- ниченной геометриии содержит в себе все компактные многообразия, а также широкий класс некомпактных многообразий, что создаёт значительные технические трудности. Например, интегралы по многообразию становятся несобственными в случае, когда многообразие имеет бесконечный объём. При этом условие ограниченной геометрии многообразия гарантирует полноту любого гладкого ограниченного векторного поля на таком многообразии. В таком случае мы можем использовать технику сдвига вдоль интегральных кривых векторного по- ля: векторные поля будут являться коэффициентами уравнения, затем мы используем их для создания операторнозначной функции (называемой функцией Чернова), которая определена на $0, \infty$. Вот почему нам нужно, чтобы интегральные кривые векторных полей существо- вали для всех положительных значений времени $t > 0$ (на компактных многообразиях это выполняется автоматически). После этого мы используем функцию Чернова и начальное условие для создания аппроксимаций Чернова $u_{n}(t, x)$, которые сходятся к решению $u(t, x)$ задачи Коши в $L_{p}$-норме: $\lim\limits_{n\to\infty}\|u_n(t,\cdot) -u(t,\cdot)\|_{L_p(M)}=0$. Таким образом, решение выражается в виде явной формулы, содержащей в качестве параметров коэффициенты уравнения и начальное условие. Представленный метод аппроксимации основан на теореме Чернова об аппроксимации операторных полугрупп.