Об одной краевой задаче для нелинейной вырождающейся параболической системы «хищник-жертва»

В докладе исследована разрешимость краевой задачи вида
\begin{equation}\label{Kuz02} u_t=\alpha_1u_x+\beta_1(uv_{xx}+v_xu_x)+f(u,v),~~ v_t=\alpha_2v_x-\beta_2(vu_{xx}+u_xv_x)+g(v,u). \end{equation}

\begin{equation}\label{Kuz03} u(t,x)|_{x=a(t)}=v(t,x)|_{x=a(t)}=0. \end{equation}
Здесь $u,v$ — искомые функции, $f,g,a$ — известные достаточно гладкие функции, причем $f(0,0)=g(0,0)=0$ и $a'(0)\neq0$.
Система \eqref{Kuz02} лежит в основе модели «хищник-жертва». Параболический тип системы вырождается при $u,v=0$, при этом становится возможным существование решений с нулевыми фронтами (границами ореолов обитания хищников и жертв), имеющими конечную скорость рапространения. Краевые условия \eqref{Kuz03} подразумевают, что границы ореолов обитания известны и изменяются по закону $x=a(t)$. Для задачи \eqref{Kuz02}, \eqref{Kuz03} доказана теорема существования и единственности аналитического решения. Решение построено в виде ряда по степеням $z=x-a(t)$, коэффициенты определяются рекуррентно. Сходимость доказывается методом мажорант. Также представлены некоторые точные решения задачи \eqref{Kuz02}, \eqref{Kuz03}, полученные с помощью редукции ее к задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, наследующей вырождение системы \eqref{Kuz02}.