О числах, не представимых в виде суммы $n+w(n)$

Пусть $w(n)$ – аддитивная неотрицательная арифметическая функция, такая, что $w(p)=1$ для всех простых чисел $p$. Рассмотрим $\Xi(N)$ — количество чисел меньших $N$, не представимых в виде $n+w(n)$. Будет получена оценка
$$ \Xi(N) \gg \frac{N}{\log \log N}. $$
Для этого изучается распределение $n+w(n)$ по модулю простого числа $p$ методом комплексного интегрирования.