Пространства Соболева и теория отображений

Пространство Соболева $L^1_p(D)$, $p\in[1,\infty)$, на области $D\subset\mathbb R^n$, $n\geqslant2$, состоит из локально суммируемых на $D$ функций, имеющих первые обобщенные производные, суммируемые в степени $p$. Полунорма функции $v\in L^1_p(D)$ равна норме в $L_p(D)$ ее обобщенного градиента $\nabla v$. Если $\varphi\colon D\to D'$ — гомеоморфизм двух областей $D,D'\subset \mathbb R^n$, возникает естественный вопрос: при каких условиях оператор композиции $\varphi^*\colon L^1_p(D')\to L^1_q(D)$, $1\leqslant q\leqslant p<\infty$, где $u=\varphi^*(v)=v\circ\varphi$, будет ограниченным. Мы получим более общую задачу, если вместо пространства $L^1_p(D')$ будем рассматривать весовоe пространство Соболева $L^1_p(D',\omega)$. Мы приведем решение задачи в обобщенной постановке, и покажем, что при некоторых показателях суммируемости $q$ и $p$ полученные классы отображений совпадают с отображениями, изучаемыми в более ранних работах.
В рамках обобщенной теории получены результаты, которые являются новыми даже для классической теории квазиконформных отображений. Например, норма оператора композиции $\varphi^*\colon L^1_n(D')\to L^1_n(D)$ равна $K^{1/n}$, где $K=\mathop{\mathrm{ess\kern2pt sup}}\limits_{x\in D}\dfrac{|D\varphi(x)|^n}{|\det D\varphi(x)|}$ — коэффициент квазиконформности.
Будет показано также применение новой шкалы отображений к задачам нелинейной теории упругости.