О нулевых множествах медленно убывающих функций

Пусть $P$ — некоторое весовое пространство целых функций, $\varphi\in P$. Качественно свойство медленного убывания $\varphi$ в $P$ можно описать таким образом: функции $\ln|\varphi|$ и $-\ln|\varphi|$ должны удовлетворять сравнимым оценкам сверху на некоторых подмножествах комплексной плоскости, зависящих от пространства $P$. Свойство медленного убывания функций в $P$ возникло как одна из возможных характеризаций делителей этого пространства. Для приложений оказывается полезной информация о структуре нулевых множеств медленно убывающих функций. Мы рассматриваем этот вопрос в следующей постановке.
Известно, что модуль функции $\sin{\pi z}$ ограничен сверху и снизу на любом подмножестве фиксированной горизонтальной полосы, удаленном от $\mathbb Z$ на положительное расстояние. Поэтому $\sin{\pi z}$ является медленно убывающим элементом многих важных в приложениях весовых пространств целых функций. Нулевое множество функции $\sin{\pi z}$ — это множество $\mathbb Z.$ В какой мере можно сдвигать целочисленные точки, чтобы возмущенная таким образом последовательность оставалась множеством нулей медленно убывающей функции в $P$?