Об оценках в теоремах о точках совпадения на группах Карно

В недавних работах А. В. Арутюнова и А. В. Грешнова было введено и изучено понятие $(q_1,q_2)$-квазиметрического пространства. Пусть $X$ — некоторое множество, состоящее не менее чем из двух точек. $(q_1,q_2)$-квазиметрическим пространством называется пара $(X,\rho_X)$, где $\rho_X:X\times X\to \Bbb R^{+}\cup 0$ — некоторая $(q_1,q_2)$-квазиметрика, т. е. такая функция, что для нее выполняются аксиома тождества $\rho_X(x,y)=0\Leftrightarrow x=y$ и $(q_1,q_2)$-обобщенное неравенство треугольника $\rho_X(x,y)\leq q_1\rho_X(x,z)+q_2\rho_X(z,y)\quad\forall x,y,z\in X$, где $q_1,q_2$ — некоторые положительные константы. Эквирегулярные пространства Карно–Каратеодори $\mathcal{M}$ (в частности, группы Карно $G$), снабженные Box-квазиметриками $\rho_{Box_{\mathcal{M}}}$, являются нетривиальными примерами $(q_2,q_2)$-квазиметрических пространств. Box-квазиметрики нашли огромное применение в геометрической теории меры и теории функциональных классов и связанных с ними отображений на неголономных многообразиях, развитых С. К. Водопьяновым и его учениками. А. В. Арутюновым и А. В. Грешнова были доказаны теоремы существования точек совпадения двух отображений, действующих из одного $(q_1,q_2)$-квазиметрического пространства в другое и удовлетворяющих предположению о том, что одно из этих отображений является накрывающим, а другое удовлетворяет условию Липшица. При этом были установлены оценки отклонения точки совпадения от произвольно заданной и построены примеры $(q_1,q_2)$-квазиметрических пространств, показывающих точность полученных оценок. В настоящем докладе мы обсудим результаты, связанные с точностью оценок отклонения точки совпадения от произвольно заданной на группах Карно $(G,\rho_{Box_{G}})$.