Следы пространств Соболева на регулярных снизу в смысле обхвата по Хаусдорфу подмножествах метрических пространств с мерой

Пусть $\operatorname{X}=(\operatorname{X},\operatorname{d},\mu)$ — полное сепарабельное метрическое пространство с мерой $\mu$, равномерно удовлетворяющей локальному свойству удвоения. Пусть $p \in (1,\infty)$ и пространство $\operatorname{X}$ допускает слабое локальное $(1,p)$-неравенство Пуанкаре. Пусть, наконец, $S$ — замкнутое подмножество $\operatorname{X}$, удовлетворяющее при некотором $\theta \in [0,p)$ условию регулярности снизу обхвата Хаусдорфа коразмерности $\theta$. Более точно, пусть существует $\lambda \in (0,1]$ такое, что $\mathcal{H}_{\theta,\infty}(B_{r}(x) \cap S) \geq \lambda \frac{\mu(B_{r}(x))}{r^{\theta}}$ при всех $x \in S$ и всех $r \in (0,1]$. Мы приводим точное внутреннее описание пространства следов $W_{p}^{1}(\operatorname{X})|_{S}$ пространства Соболева $W_{p}^{1}(\operatorname{X})$. Кроме того, мы покажем существование линейного ограниченного оператора продолжения $\operatorname{Ext}_{S,p}:W_{p}^{1}(\operatorname{X})|_{S} \to W_{p}^{1}(\operatorname{X})$, являющегося правым обратным к оператору следа $\operatorname{Tr}|_{S}$. Полученные результаты являются естественным далеко идущим обобщением известных ранее в мировой литературе теорем о следах пространств Соболева $W_{p}^{1}(\operatorname{X})$ на регулярных по Альфорсу-Давиду подмножествах метрических пространств с мерой.