Оценки интегралов $n$-листных функций и геометрические свойства областей

В докладе рассматривается задача об оценке интегралов от производных ограниченных $n$-листных функций. Показано, что в области $D$ со спрямляемой границей имеет место точная по порядку зависимости от $n$ оценка $\int_D |f'(z)| dxdy \le C L \sqrt{\log n}\|f\|_\infty$, где $L$ — длина границы области, а $C$ — некоторая абсолютная константа. Точность неравенства видна уже на произведениях Бляшке в единичном круге и вытекает из тонких результатов Н. Г. Макарова (1989) и Р. Бануэлоса и Ч. Н. Мура (1991) о граничном поведении функций из пространства Блоха.
Аналогичные оценки получены и для $L^p$-нормы производной при $1<p<2$. Полученные неравенства существенно обобщают известные оценки Е. П. Долженко (1966) для рациональных функций в областях с достаточно гладкой границей. Если отказаться от условия спрямляемости, то характер зависимости от порядка листности меняется. Нами получены оценки интегралов от производных ограниченных $n$-листных функций в терминах размерности Минковского границы.
Доклад основан на совместной работе с И. Р. Каюмовым (Казанский федеральный университет).