О некоторых мартингальных конструкциях для ПСИ-процессов

Пусть $(\xi)=\xi_0,\xi_1,...$ — поcледовательность случайных величин, $\Pi(t)$ — стандарный пуассоновский процесс c временным параметром $t\in\mathbb{R}_+$, $\lambda>0$ — произвольная постоянная (интенсивность). Последовательность $(\xi)$ и $\Pi(t)$ предполагаются независимыми в совокупности.
Случайный процесс
\begin{equation*} \psi_\lambda(t):=\xi_{\Pi(\lambda t)}, \quad t\geqslant 0, \end{equation*}
называется ПСИ-процессом, или процессом пуассоновского случайного индекса.
В случае, когда последовательность $(\xi)$ марковская, процесс пуассоновского случайного индекса является процессом псевдопуассоновского типа (см. [4]). Изучены свойства ПСИ-процессов со случайной интенсивностью (см. [2]), спектральные свойства ПСИ-процессов со специальной рандомизацией времени (см. [5]) и некоторые локальные асимптотические свойства последовательностей ПСИ-процессов (см. [3]).
В данном работе рассматривается интегрированный ПСИ-процесс:
\begin{equation*} \Psi_\lambda(t):=\int\limits_0^t \psi_\lambda(s)\,ds, \quad t\geqslant 0. \end{equation*}

На основании предыдущих результатов (см. [1], [2]) изучены основные свойства интегрированного ПСИ-процесса, в том числе вычислены главные моментные характеристики. В работе [1] были рассмотрены свойства самоподобия для интегрированного ПСИ-процесса со случайной интенсивностью.
Далее, $(\xi)$ – последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин. Вводятся фильтрации, естественно порождённые ПСИ-процессом и интегрированным ПСИ-процессом. ПСИ-процесс является марковским процессом относительно фильтрации, порождённой $\mathcal{F}^\psi_t=\sigma\{\psi_\lambda(s), s\leqslant t\}$, а интегрированный ПСИ-процесс относительно фильтрации, порождённой $\mathcal{F}^\Psi_t=\sigma\{\Psi_\lambda(s), s\leqslant t\}$, не является марковским.
Рассмотрим двумерный процесс $\big(\psi_\lambda(t), \Psi_\lambda(t)\big)$ (марковская пара) относительно фильтрации, порождённой $\mathcal{F}^{\psi,\Psi}_t=\sigma\Big\{\big(\psi_\lambda(s), \Psi_\lambda(s)\big),s\leqslant t\Big\}$. Данный процесс является марковским относительно введённой фильтрациии $\{\mathcal{F}^{\psi,\Psi}_t\}_{t\geqslant 0}$.
Поставим задачу: построить компенсатор для интегрированного ПСИ-процесса, чтобы относительно естественной фильтрации $\{\mathcal{F}^{\psi,\Psi}_t\}_{t\geqslant 0}$ скомпенсированный процесс уже являлся мартингалом. Ответ получен, результат сформулирован в теореме ниже.

Теорема. Пусть $(\xi)$ — последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, $\mathbb{E}\xi_0=0.$ Фильтрация $\mathbb{F}$ натурально порождена марковской парой$\big(\psi_\lambda(t),\Psi_\lambda(t)\big)$: $\mathcal{F}^{\psi,\Psi}_t=\sigma\Big\{\big(\psi_\lambda(s), \Psi_\lambda(s)\big),s\leqslant t\Big\}$. Тогда процесс $\lambda\Psi_\lambda(t)+\psi_\lambda(t)$ при $t\geqslant 0$ является мартингалом относительно $\mathbb{F}$: в силу марковости для $s\leqslant t$
\begin{equation*} \mathbb{E}\big\{\lambda\Psi_\lambda(t)+\psi_\lambda(t)\,|\,\psi_\lambda(s), \Psi_\lambda(s)\big\}=\lambda\Psi_\lambda(s)+\psi_\lambda(s). \end{equation*}
Работа поддержана грантом РФФИ 20-01-00646 (А).