Разности идемпотентов в $C^*$-алгебрах и квантовый эффект Холла, II. Неограниченные идемпотенты

Пусть алгебра фон Неймана ${\mathcal M}$ операторов действует в гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$, $\tau$ – точный нормальный полуконечный след на $\mathcal{M}$, $S(\mathcal{M}, \tau )$ – ${}^*$-алгебра $\tau$-измеримых операторов и $ L_1(\mathcal{M},\tau)$ – банахово пространство $\tau$-интегрируемых операторов. Если $P, Q \in S(\mathcal{M}, \tau )^{\text{id}}$ и $P-Q\in L_1(\mathcal{M},\tau)$, то $\tau (P-Q)\in \mathbb{R}$. В частности, если $A=A^3\in L_1(\mathcal{M}, \tau )$, то $\tau (A)\in \mathbb{R}$. Пусть $A, B \in S(\mathcal{M}, \tau )$ являются трипотентами. Если $A-B\in L_1(\mathcal{M}, \tau )$ и $A+B\in \mathcal{M}$, то $\tau (A-B)\in \mathbb{R}$. Пусть $P, Q \in S(\mathcal{M}, \tau )^{\text{id}}$ с $P-Q\in L_1(\mathcal{M},\tau)$ и $P Q \in \mathcal{M}$. Тогда для всех $n\in \mathbb{N}$ имеем $(P-Q)^{2n+1}\in L_1(\mathcal{M},\tau)$ и $\tau ((P-Q)^{2n+1})=\tau (P-Q)\in \mathbb{R}$.