Решение уравнения пентагона для квантовых $6j$-символов с помощью многомерных ортогональных многочленов

Соотношение пентагона является одним из нелинейных соотношений на квантовые $6j$-символы. Известно, что используя уравнение определенным образом, можно рекурсивно найти значение любого наперед заданного $6j$-символа. Однако получение аналитических решений, которые описывали бы сразу целый класс $6j$-символов параметрически, по-прежнему представляет большую трудность. Мы расскажем о том, что для (квантовой) группы $sl(2)$ уравнение пентагона можно переписать, как рекурсивное трехчленное соотношение на ортогональный полином ($q$-)Рака, и, таким образом, любой $6j$-символ этой группы выражается через данный ортогональный многочлен. Также приведем ряд соображений и наших вычислений, показывающих, что для групп старшего ранга соотношение пентагона должно превращаться в аналоги трехчленных соотношений для многомерных ортогональных многочленов.