Нули и полюса Дзета-функции Хелсона с конечным числом значений

Дзета-функция Хелсона определяется как
$$ \zeta_\chi(s)=\sum_{n=1}^\infty\chi(n) n^{-s} $$
для полностью мультипликативной $\chi$. Естественный вопрос, поставленный К. Сейпом – какое может быть моножество нулей и полюсов дзета-функции Хелсона?
Данный доклад призван частично ответить на этот вопрос. В частности, будет доказано, что в полосе $\frac{21}{40}<\Re s<1$ множество нулей и полюсов может быть любым локально конечным множеством. Более того, для этого достаточно рассматривать функции $\chi$ с любым конечным числом значений, большем $2$, при этом функция $\chi$ может быть построена конструктвно.
Список литературы
[1] Seip K., “Universality and distribution of zeros and poles of some zeta functions.” arXiv: 1812.11729, 2019.
[2] Helson H., “Compact groups and Dirichlet series.” Ark. Mat. 8: 139–143, 1969.
[3] Baker R. C., Harman G., Pintz J., “The difference between consecutive primes. II.” Proc. London Math. Soc. 83: 532–562, 2001.
[4] Saksman E., Webb C., “The Riemann zeta function and Gaussian multiplicative chaos: statistics on the critical line.” arXiv:1609.00027, 2018.