Интегрируемая контурная динамика на комплексной плоскости. Лекция 1

Некоторые фундаментальные нелинейные физические процессы формулируются как деформация областей на комплексной плоскости. Cоответствующие интегро-дифференциальные уравнения (в особенности те, что описывают Лапласовский рост) обладают такими замечательными свойствами, как наличие многочисленных точных конечномерных решений и бесконечного числа независимых законов сохранения. В представленном курсе лекций исследуются эти свойства и выявляется глубокая связь этих задач с некоторыми классическими (обратная задача Ньютоновского потенциала) и современными (интегрируемые бездисперсионные иерархии) математическими темами.
В частности, в терминах т.н. функции Шварца, задача деформации области (или, что то же, динамика её границы) переписывается как обратная задача потенциала, а также как квазиклассический предел двумеризованной интегрируемой иерархии Тоды. Kроме того, мы решим две классические задачи отбора в двумерном Лапласовском росте, используя точные конечномерные решения, упомянутые выше, и (если останется время) сформулируем задачу Стоксовского роста, связь которой с современной теорией интегрируемых систем, к сожалению, пока не вскрыта, несмотря на бесконечное число законов сохранения и наличие классов точных конечномерных решений в этой задаче.
От аудитории не требуется никаких предварительных знаний, кроме теории функций одного комплексного переменного и теоремы Стокса (Гаусса, Грина).