Феномен мягкости в дифференциальной топологии. Семинар 1

В середине прошлого века С. Смейл обнаружил, что сферу в трёхмерном пространстве можно непрерывно вывернуть наизнанку. В процессе выворачивания могут появляться самопересечения, но запрещены изломы (т.е. каждый достаточно маленький кусочек сферы должен быть гладким в любой момент времени).
Примерно в то же время Дж. Нэш доказал теорему об изометрическом вложении. Она позволяет, например, вложить в трёхмерное пространство тор, склеенный из прямоугольника, так что в итоге поверхность прямоугольника не будет растянута или сжата, а лишь гладко изогнута.
В дальнейшем М. Громов заметил, что оба применённых здесь метода обобщаются на довольно широкий класс геометрических задач, которым присуща некая «гибкость». Разработанная Громовым техника получила название h-принцип и была впоследствии широко популяризирована.
В этом курсе мы попробуем увидеть и почувствовать, как работает h-принцип, на нескольких простых примерах. В процессе мы также освоим ряд концептуальных приёмов и инструментов, часто применяющихся во многих других топологических задачах.
Примерный план:

• регулярные гомотопии гладких кривых на плоскости (разминка),
  
• векторные расслоения, послойные морфизмы (техническая подготовка),
  
• теорема Смейла-Хирша, выворачивание сферы (и другие примеры),
  
• мягкость отображений с заданными особенностями (если останется время).
  

Пререквизиты. Для комфортного понимания курса от слушателей потребуется владение азами теории множеств (отображения, декартово произведение) и анализа (эпсилон-дельта формализм, интуитивное понимание непрерывности и геометрического смысла производной), а также хорошее пространственное воображение.