Факторизация элементов Шаповалова

Классический результат И. Бернштейна, И. Гельфанда и С. Гельфанда утверждает, что особый вектор в модуле Верма над простой комплексной алгеброй Ли может быть получен применением произведения специальных элементов борелевской подалгебры к старшему вектору. Эти специальные элементы параметризуются положительным корнем и натуральным числом и называются элементами Шаповалова. Мы предлагаем явные формулы для элементов Шаповалова и, следовательно, для особых векторов модулей Верма, в терминах образующих Шевалле алгебры Ли. Наш анализ основан на изучении матричных элементов обратной контравариантной формы Шаповалова универсальной обертывающей алгебры данной алгебры Ли.