Инварианты циклических накрытий графов и полиномы Чебышева

Цель настоящего доклада – изучение инвариантов циклических накрытий графов. При этом, накрываемый граф предполагается фиксированным, а циклическая группа накрытия имеет сколь угодно большой порядок. Классическим примером таких накрытий являются циркулянтные графы. Они накрывают одновершинный граф с заданным числом петель. Более сложными представителями семейства циклических накрытий являются $I$-, $Y$-, $H$- графы, обобщенные графы Петерсена, сэндвич-графы, дискретные торы и многие другие. В докладе будут приведены аналитические формулы, позволяющие вычислять число отмеченных остовных лесов и деревьев в циклических накрытиях, найдена их асимптотика и изучены арифметические свойства этих чисел. Кроме того, для циркулянтных графов будут указаны точные формулы для вычисления индекса Кирхгофа и установлено, что, с точностью до экспоненциально малого остаточного члена, они задаются полиномами третьей степени. Все указанные инварианты являются спектральными – их значения определяются спектром оператора Лапласа. Особое место будет отведено якобианам графов. Якобиан графа представляет из себя максимальную абелеву группу, порожденную потоками на графе, удовлетворяющими первому и второму законам Кирхгофа. Эта группа, которую также называют песочной группой, группой Пикара, критической группой, долларовой группой или группой компонент, была независимо введена многими авторами. Важной особенностью якобиана графа является его неспектральный характер. Существуют графы с одинаковыми спектрами, но разными якобианами. В тоже время, существуют графы с одинаковыми якобианами, но разными спектрами. Будут приведены структурные формулы для вычисления якобианов циркулянтных графов и их простейших аналогов. Основная техника вычисления всех указанных выше инвариантов базируется на использовании полиномов Чебышева и их свойствах.