Обратная задача для систем Хитчина над $SL_2$

Мы даем явные формулы для оператора Лакса и семейства $M$-операторов интегрируемой иерархии в терминах их общих собственных функций в классе функций Бейкера-Ахиезера. Эти результаты хорошо известны для систем с рациональным спектральным параметром. В 2001 г. они обобщены И.М.Кричевером на системы со спектральным параметром на римановой поверхности и структурной группой $GL_n$. Для этого им были введены дополнительные динамические переменные – параметры Тюрина. Для систем с простыми структурными группами задача является открытой. Мы даем ее решение в случае группы $SL_2$, и операторов Лакса с двойными полюсами в точках Тюрина (случай простых полюсов рассмотрен И.М.Кричевером). Основным результатом является характеризация точек Тюрина как двойных нулей функции $\langle\psi^+\psi\rangle$, в которых $\psi$ и $\psi'$ линейно зависимы, где $\psi$ и $\psi^+$ – нормированные собственные вектор-функции прямой и двойственной задач. Мы показываем, что функции Бейкера-Ахиезера, обладающие требуемыми свойствами, существуют, но в настоящий момент не располагаем их эффективным описанием.