Существуют ли кофантомные фантомы?

В докладе будут доказаны несколько новых теорем об абелевых группах, а точнее об их прямых ($\operatorname{colim}$), обратных ($\lim$) и производных ($\lim^1$) пределах. Для понимания доклада потребуется знакомство с прямыми и обратными пределами (нам понадобится только случай, в котором индексным множеством служат натуральные числа). Определение и нужные нам свойства $\lim^1$ я коротко напомню. Но вообще обо всех трёх можно прочитать, например, в книге А. Хэтчера "Алгебраическая топология", параграф 3.Е (страницы 311–316 английского издания).
Рассмотрим коммутативную диаграмму из абелевых групп и гомоморфизмов
$$\begin{matrix} \vdots&&\vdots&&\\ \downarrow&&\downarrow&&\\ G_{10}&\to&G_{11}&\to&\dots\\ \downarrow&&\downarrow&&\\ G_{00}&\to&G_{01}&\to&\dots.\! \end{matrix}$$

Теорема 1. Пусть $L_n = \lim_k G_{kn}$. Если группы $G_{kn}$ конечно-порождённые и $\operatorname{colim} L_n = 0$, то для всякого $n$ найдётся $m>n$, такое что гомоморфизм $L_n\to L_m$ тривиален.
Гипотеза А. Пусть $L_n = \lim^1_k G_{kn}$. Если группы $G_{kn}$ счётные и $\operatorname{colim} L_n = 0$, то для всякого $n$ найдётся $m>n$, такое что гомоморфизм $L_n\to L_m$ тривиален.
Теорема 2. Гипотеза А верна, если (а) все вертикальные стрелки в диаграмме инъективны, или (б) все горизонтальные стрелки в диаграмме сюръективны.
Стоит отметить, что если все вертикальные стрелки в диаграмме сюръективны, то гипотеза A верна по тривиальным соображениям. Доказательство пункта б основано на теореме 3, которая утверждает, грубо говоря, что гипотеза A верна по модулю пересечения всех конечных членов фильтрации Боардмана. Теорема 3 также приводит к некоторым вопросам о трансфинитной фильтрации Боардмана и к ответам на них, но это уже тема для отдельного доклада.
Вся эта алгебра мотивирована следующей гипотезой в топологии, которая в случае локально-компактных сепарабельных метрических пространств вытекает из теоремы 1 и конечно-порождённого случая гипотезы A.
Гипотеза T. Если метрическое пространство имеет нулевые гомологии Стинрода-Ситникова, то гомологии Стинрода его компактных подмножеств образуют тривиальную ind-группу в каждой размерности. (ind-группа - это объект ind-категории; ind-категория двойственна к pro-категории, которую придумал Гротендик.)

Подключение к Zoom: https://mi-ras-ru.zoom.us/j/95004507525
Код доступа: эйлерова характеристика букета двух окружностей
(паролем является не приведённая фраза, а задаваемое ей число)