Развитие теории аменабельных групп за 80 лет

Понятие аменабельной группы (под другим названием) было определено фон Нойманом в 1929 году и с тех пор приобрело большую популярность в различных разделах математики: функциональном анализе, динамических системах, операторных алгебрах, теории вероятностей и других. Круг примеров аменабельных групп, которыми располагал фон Нойманн ограничивался так называемыми элементарными аменабельными группами.
В 1957 году М. Дэй поставил вопрос о существоании неэлементарных аменабельных групп. Такие группы были найдены докладчиком в 1983 году как следствие решения проблемы Милнора о группах промежуточного роста.
В 1987 году я поставил вопрос о существовании аменабельных, но не субэкспоненциально аменабельных групп, положительный ответ на который недавно был получен Бартольди и Вирагом, опиравшихся на предварительные результаты докладчика и его соавторов. Группа, приведшея к решению этой проблемы получила название Базилика. Она сыграла выдающуюся роль в построении В. Некрашевичем теории итерированной монодромии – нового мощного средства в голоморфной динамике.
Мы расскажем о решении проблемы несубэкспоненциальной аменабельности, основанном на теории самоподобных групп фрактального типа и методе доказательства аменабельности, который получил название «трюка Мюнхаузена» (и который берет свое начало в вероятностном критерии аменабельности Кестена и энтропийной теории случайных блужданий).
В конце доклада будут предложены постановки новых открытых вопросов и обсуждены некоторые интересные классы групп.