Распределение коротких «скользящих» сумм характеров

Суммы значений характеров Дирихле – один из наиболее исследуемых объектов в аналитической теории чисел. В докладе я расскажу об изучении распределения величин
$$ \sum\limits_{x\,<\,n\,\leqslant\,x+H}\chi(n), $$
где $\chi$ - неглавный характер Дирихле по $\mod{q}$, а $x$ меняется от $0$ до $q-1$. Эта задача рассматривалась ещё Дэвенпортом и Эрдешом, а совсем недавно - Ламзури и др. Ламзури высказал предположение о том, что если
$$ H\to \infty, \quad\text{но при этом}\quad H = o\left(\frac{q}{\log{q}}\right), $$
то такие суммы должны иметь в пределе гауссовское распределение. Я представлю ряд новых результатов, проливающих свет на эту гипотезу.