Отклонение последовательностей Коробова–Главки

Пусть $N\in \Bbb N$, $a=(a_1,\ldots,a_s)\in \Bbb Z^s$. Коробов (1959) и Главка (1962) независимо предложили использовать точки вида
$$ x^{(k)} = \left( \left\{a_1k/N\right\},\ldots, \left\{a_sk/N\right\} \right)\quad (k=1,\ldots,N) $$
в качестве узлов многомерных квадратурных формул. Эта идея оказалась плодотворной и породила целое направление на стыке теории чисел и вычислительной математики.
Пусть $D_N(a)$ — отклонение последовательности $\left\{x^{(k)}\right\}_{k=1}^N$ от равномерного распределения. С теоретической и практической точки зрения разумно конструировать последовательности с как можно меньшим отклонением. Если $s=1$, $\text{gcd}(a_1,N)=1$, то $D_N(a_1)= 1/N$. Пусть $s\ge 2$. Наилучшая (на сегодня) верхняя оценка имеет вид
$$ \mathfrak{D}^{(s)}_{N} \equiv \min_{a\in\Bbb Z_N^s} D_N(a) \underset{s}\ll \frac{\ln^{s-1} N}{N} \ln\ln N $$
(Быковский; 2012). Есть основание полагать, что
$$ \mathfrak{D}^{(s)}_{N} \underset{s} \gg \frac{\ln^{s-1} N}{N}. $$
При $s=2$ это неравенство вытекает из теоремы Шмидта. При $s\ge 3$ наилучшая (на сегодня) нижняя оценка имеет вид
$$ \mathfrak{D}^{(s)}_{N}\underset{s}\gg\frac{(\ln N)^{(s-1)/2 + \eta(s)}}{N}, $$
(Bilyk, Lacey, Vagharshakyan; 2008), где $\eta(s)$ — положительная постоянная, зависящая только от $s$.
В настоящей работе получены некоторые результаты, связанные с распределением последовательности $\left\{x^{(k)}\right\}_{k=1}^N$. В частности, доказано, что
$$ \frac{\ln^{s-1}N}{N\ln\ln N} \underset{s} \ll D_N(a) \underset{s}\ll \frac{\ln^{s-1}N}{N}\ln\ln N $$
для “почти всех” $a\in (\Bbb Z_N^*)^s$, где $\Bbb Z^*_N$ — приведенная система вычетов по модулю $N$.