Аннотация:
Рассмотрим многоугольник $\Gamma$. Из точки $p$ на плоскости проведем касательную (т.е. опорную прямую) к $M$ и отразим $p$ относительно точки касания. Такое преобразование называется преобразованием внешнего биллиарда. При последовательном применении такой операции точка может оказаться периодической (т.е. вернуться в какой-то момент в себя), апериодической (никогда не вернуться в себя), а также вырожденной (внешний биллиард можно применить конечное число раз).
Особое место занимает случай, когда $\Gamma$ есть правильный $n$-угольник. В случаях $n=3,4,6$ ($\phi(n) = 2$) ситуация проста (апериодических траекторий нет); также ситуация была исследована для случая $n=5$ и, частично, $n=10$ (апериодическая точка есть, но периодические точки образуют множество полной меры). Автором были получены результаты для случаев $n=8,12,10$. Таким образом, были полностью исследованы случаи $n$ с $\phi(n) = 4$. При этом, при исследовании 12-угольника были использованы доказательные компьютерные вычисления.
Мы расскажем как устроены периодические, апериодические и вырожденные точки, какие интересные фрактальные структуры возникают, как описать все возможные периодические компоненты, какие факты удается доказать в общем случае, а какие — только в частных случаях, какие алгоритмы могут быть полезны для обнаружения и доказательства самоподобия, и почему компьютер оказывается практически необходимым для полноценного исследования. Будут показаны некоторые занятные картинки.
Обратная связь: