Обобщенная $H_2$ норма систем со скачками

В работе рассматривается линейный объект со скачками, динамика которого описывается уравнениями
\begin{equation} \begin{alignedat}{2} \dot{x} &= A_{c}(t) x + B_c(t) v, &\qquad& t\in [t_k,\, t_{k+1}), \\ x(t_{k+1}) &= A_{d,k} x(t_{k+1}-0) + B_{d,k} w_k, &\qquad& k = 0,\,\dots,\,N-1, \\ z &= C(t) x, \\ \end{alignedat} \label{eqn:jump_lin_sys} \end{equation}
где $x \in \mathbb{R}^{n_x}_2$ — состояние объекта, $v(t) \in L_2([t_0,\,t_N),\,\mathbb{R}^{n_v}_2)$ — непрерывное возмущение, $\{w_k\}\in l_2([0,N-1],\,\mathbb{R}^{n_w}_2)$ — дискретное возмущение, $z \in \mathbb{R}^{n_{z}}_2$ — целевой выход. Матрицы $A_{c}(t)$, $B_c(t)$ таковы, что решение рассматриваемой системы существует на заданном интервале.
Обобщённая $\mathcal{H}_2$-норма объекта \eqref{eqn:jump_lin_sys} определяется как точное гарантированное максимальное по времени значение квадрата евклидовой нормы выхода системы, нормированное суммой квадратов евклидовых норм возмущений и квадратичной формы начального состояния системы:
\begin{equation} \gamma^{2} = \sup_{(x_0, v, w) \not=0}\frac{\sup_{t \in [t_0,\,t_N)}|z(t)|^2_{2}}{{\|v\|_{L_2}^2 + \|w\|_{l_2}^2 + x_0^\top R x_0}}. \label{eqn:jump_defH2} \end{equation}

series Теорема. Обобщённая $\mathcal{H}_2$-норма объекта \eqref{eqn:jump_lin_sys} при начальном и внешнем возмущениях на заданном горизонте $[t_0,t_N)$ может быть вычислена как
\begin{equation} \gamma^2 = \max_{k=0\dots N-1} \sup_{t \in [t_k,t_{k+1})} \lambda_{\max} \left(\mathcal{C}_{k}(t) Y_k \mathcal{C}_{k}^\top (t) + C(t) \mathcal{P}_k(t) C^\top(t) \right), \label{thm:jump_gammaeq} \end{equation}
где $Y_k = Y_k^\top \succcurlyeq 0$ — решение уравнения
$ Y_{k+1} = {\mathcal{A}}_k Y_k {\mathcal{A}}_k^\top + \mathcal{P}_k(t_{k+1})$
с начальным условием $Y_0 = R^{-1}$, здесь
\begin{equation} \label{eqn:jump_def_hat_theorem_matrix_lns} \begin{gathered} {\mathcal{A}}_k = \Phi(t_{k+1},t_k) A_{d,k}, \qquad \mathcal{C}_k(t) = C(t) \Phi(t,t_k)A_{d,k},\\
\mathcal{P}_k(t) = \int\limits_{t_k}^{t} \Phi(t,\tau) B_c(\tau) B^\top_c(\tau) \Phi^\top (t,\tau) d\tau + \Phi(t,t_k)B_{d,k} B_{d,k}^\top \Phi^\top(t,t_k) \end{gathered} \end{equation}
и $\Phi(t,\,\tau)$ — фундаментальная матрица решений уравнения $ \dot{x} = A_{c}(t) x $.
Работа выполнена в рамках Программы развития регионального научно-образовательного математического центра «Математика технологий будущего», проект №075-02-2020-1483/1.