Оптимальное по Парето управление гибким ротором в электромагнитных подшипниках

В работе рассматривается гибкий вертикальный ротор, вращающийся в двух электромагнитных подшипниках. Динамика такого ротора описывается системой дифференциальных уравнений:
$$

\begin{array}{l} \ddot{\alpha}_1 - \mu_0\ddot{y}= -4\mu_0u_1 + \lambda\Delta\alpha + \varepsilon\Delta\dot{\alpha} - \rho_0\bar\omega\dot{\beta}_1 - \varepsilon\bar\omega\Delta\beta + w_1,\\ \ddot{\alpha}_2 + \mu_0\ddot{y}= 4\mu_0u_2 - \lambda\Delta\alpha - \varepsilon\Delta\dot{\alpha} - \rho_0\bar\omega\dot{\beta}_2 + \varepsilon\bar\omega\Delta\beta + w_2,\\ \ddot{\beta}_1 + \mu_0\ddot{x} = 4\mu_0u_3 - \lambda\Delta\beta - \varepsilon\Delta\dot{\beta} + \rho_0\bar\omega\dot{\alpha}_1 - \varepsilon\bar\omega\Delta\alpha + w_3,\\ \ddot{\beta}_2 - \mu_0\ddot{x} = -4\mu_0u_4 + \lambda\Delta\beta + \varepsilon\Delta\dot{\beta} + \rho_0\bar\omega\dot{\alpha}_2 + \varepsilon\bar\omega\Delta\alpha + w_4,\\
\ddot{x} + {(\ddot{\beta}_1 - \ddot{\beta}_2)}/{8} = u_3 + u_4 + w_5,\\ \ddot{y} + {(\ddot{\alpha}_2 - \ddot{\alpha}_1)}/{8} = u_1 + u_2 + w_6, \end{array}

$$
где $\Delta\alpha = \alpha_2 - \alpha_1$, $\Delta\dot{\alpha} = \dot{\alpha}_2 - \dot{\alpha}_1$, $\Delta\beta = \beta_1 - \beta_2$, $\Delta\dot{\beta} = \dot{\beta}_1 - \dot{\beta}_2$, $x$ и $y$ — координаты центра масс ротора, $\alpha_1$, $\beta_1$ и $\alpha_2$, $\beta_2$ — угловые переменные, $u_1,\ldots, u_4$ — управляющие переменные, связанные с электромагнитными силами в подшипниках и $w_1,\ldots,w_6$ — внешние силы, действующие на ротор, — ограниченные по $L_2$-норме функции. Безразмерные параметры, фигурирующие в системе, имеют вид: $\mu_0 = 4m l_0^2/(J + ml_0^2)$, $\rho_0 =\sqrt{2m\delta_0/\gamma}\omega_0 J_z/(J + ml_0^2)$ (где $l_0$ — четверть длины ротора, $J$ и $J_z$ — главные моменты инерции ротора, $\omega_0$ — основная частота изгибных колебаний ротора, $\gamma$ — характерный масштаб управляющих электромагнитных сил, $\delta_0$ — номинальный зазор в электромагнитных подшипниках), $\bar\omega$ — частота вращения ротора относительно вертикальной оси, приведенная к основной частоте $\omega_0$ его изгибных колебаний, $\lambda$ — коэффициент жесткости гибкого ротора и $\varepsilon$ — коэффициент внутреннего трения материала ротора.
Построено решение задачи оптимального раскручивания ротора в классе управлений в форме линейных обратных связей по состоянию. Функционалы, характеризующие качество процесса управления, имеют вид
$$ J_1(u) = \sup\limits_{w\neq0}\dfrac{\max\limits_{k=1,\ldots,4}\Big\{\sup\limits_{t\geqslant0}|\sigma_k|\Big\}}{\|w\|_2},\qquad J_2(u) = \sup\limits_{w\neq0}\dfrac{\max\limits_{k=1,\ldots,4}\Big\{\sup\limits_{t\geqslant0}|u_k|\Big\}}{\|w\|_2}, $$
где через $\sigma_k$, $k = 1, \ldots, 4$, обозначены смещения ротора в верхнем и нижнем электромагнитных подшипниках:
$$ \sigma_1 = x + \beta_1 / 2,\quad \sigma_2 = y - \alpha_1 / 2,\quad \sigma_3 = x - \beta_2 / 2,\quad \sigma_4 = y + \alpha_2 / 2. $$

Работа выполнена в рамках Программы развития регионального научно-образовательного математического центра «Математика технологий будущего», проект № 075-02-2020-1483/1.