О многомерных интегральных операторах с биоднородными ядрами

Пусть $\mathbb{B}_n=\{x\in\mathbb{R}^n\colon |x|\leqslant1\}$. В пространстве $L_2(\mathbb{B}_n)$ рассмотрим оператор
\begin{equation}\label{avs:eq:1} (K\varphi)(x)=\int\limits_{\mathbb{B}_n} k(x,y) \varphi(y)\,dy,\quad x\in \mathbb{B}_n, \end{equation}
где функция $k(x,y)$ определена на $\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^n$ (здесь и далее предполагается, что $n\geqslant2$) и удовлетворяет следующим условиям:
$1^\circ$) $k(\alpha x, \alpha y)=\alpha^{-n} k(x,y)$ для любого $\alpha>0$;
$2^\circ$) $k(\omega(x), \omega(y))=k(x,y)$ для любого $\omega\in SO(n)$;
$3^\circ$) $\int\limits_{\mathbb{R}^n} |k(e_1,y)| |y|^{-n/2}\,dy < \infty$, где $e_1=(1,0,\dots,0)$.
Обозначим через $\mathfrak{K}_n$ наименьшую $C^*$-подалгебру $C^*$-алгебры $\mathcal{L}(L_2(\mathbb{B}_n))$, содержащую все операторы вида $\lambda I+K+T$, где $\lambda \in \mathbb{C}$, $K$ — оператор вида (\ref{avs:eq:1}), a $T$ – компактный оператор. Рассмотрим $C^*$-алгебру $\mathfrak{K}_{n_1,n_2}=\mathfrak{K}_{n_1} \otimes \mathfrak{K}_{n_2}$, которую называют алгеброй интегральных операторов с биоднородными ядрами. Для $C^*$-алгебры $\mathfrak{K}_{n_1,n_2}$ построен операторнозначный символ, в терминах которого получен критерий нетеровости операторов и установлена топологическая формула для вычисления индекса.
В алгебре $\mathfrak{K}_{n_1,n_2}$ выделим важный для приложений класс операторов:
\begin{equation}\label{avs:eq:2} A=\lambda(I_1\otimes I_2)+ (K_1\otimes K_2), \end{equation}
где $\lambda \in \mathbb{C}$, а операторы $I_j$, $K_j$ действуют в пространстве $L_2(\mathbb{B}_{n_j})$, $j=1,2$. Показано, что оператор $A$ вида (\ref{avs:eq:2}) обратим тогда и только тогда, когда он нетеров, что равносильно выполнению следующих условий
$$ \lambda \ne 0,\quad \lambda + \sigma_{K_1}(m,\xi)\sigma_{K_2}(\ell,\eta) \ne 0 \quad \forall\,(m,\xi), (\ell,\eta)\in \mathbb{Z}_+ \times \mathbb{R}, $$
где $\sigma_{K_j}(m,\xi)$ — символ оператора $K_j$, $j=1,2$.