Соболевcкие отображения, принимающие значения в банаховом пространстве или в метрическом пространстве

Мы рассматриваем возможные определения соболевсих функций, принимающих значения в семействах банаховых пространств. Потребность в таких объектах обусловлена исследованиями эволюционных задач. Например, задачи на эволюционирующих поверхностях или на нецилиндрических областях. Для фиксированного семейства $\{X_t\}_{t\in[0,T]}$ и зависящего от времени оператора $A(t):X_t\to X_t$ рассмотрим абстрактную задачу
$$\begin{equation}\label{eq:1} \begin{cases} u'(t) + A(t)u(t) = f(t) \quad &\text{ в } X_t,\\ u(0) = u_0 \quad &\text{ в } X_0. \end{cases} \end{equation}$$
Естественно предположить, что решения принадлежат некоторому пространству Соболева $W^{1,p}([0,T];\{X_t\})$ функций $u:[0,T]\to \bigcup_t X_t$ с условием $u(t)\in X_t$. Это пространство можно определить разными способами. В [1], при условии монотонности $\{X_t\}$, мы определяем $W^{1,p}([0,T];\{X_t\})$ как пространство функции для которых верно: $\|u(t)\|_{X_t}\in L^p([0,T])$ и существует функция $g\in L^p([0,T])$ такая, что
$$\begin{equation}\label{eq:Newton} \|u(t) - u(t_0)\|_{X_t} \leq \int^{t}_{t_0} g(s)\, ds. \end{equation}$$
Затем мы доказываем существование производной $u'$ такой, что в $\eqref{eq:Newton}$ в качестве функции $g$ можно выбрать $\|u'(t)\|_{X_t}$. В случае тривиального семейства такое определение совпадает с определением ньютоновского пространства $N^{1,p}([0,T];X)$.
Последнее обстоятельство мотивирует рассмотрение определения пространств Соболева из анализа на метрических пространствах, с целью приложения для задачи $\eqref{eq:1}$. Так, пространство Решетняка–Соболева $R^{1,p}(\Omega;X)$ определяется как \textit{функции $u\in L^p(\Omega;X)$, для которых: $(A)$ $x \mapsto \langle v^*, u(x) \rangle$ принадлежит $W^{1,p}(\Omega)$; $(B)$ существует $g\in L^p(\Omega)$, что $|\nabla\langle v^*, u(x) \rangle| \leq ||v^*||\cdot g(x)$ для всех $v^*\in X^*$.} Если банахово пространство $X$ обладает свойством Радона–Никодима, то $W^{1,p}=R^{1,p}=N^{1,p}$. В частности, если $u\in R^{1,p}$, то существует производная $u'\in L^p$ (см. [2]). Наличие производной позволяет поставить задачу $\eqref{eq:1}$.
В [3] исследован случай, когда $X$ не обладает свойством Радона–Никодима, но является двойственным к сепарабельному пространству. Тогда производная существует только в слабом* смысле. Также мы получаем определение пространства Соболева функций со значениями в сепараблельном метрическом пространстве.
В дальнейшем, мы рассчитываем применить аппарат анализа на метрических структурах для исследования абстрактных задач на эволюционирующих пространствах вида $\eqref{eq:1}$.