О новых направления в гармоническом анализе на $L_1(R^d)$

Сингулярные интегральные операторы не действуют непрерывно на пространстве $L_1$. Как известно с 70-х годов, для того, чтобы действие стало непрерывным, следует заменить $L_1$ на вещественный класс Харди. Я расскажу об одной теореме такого типа, которая описывает аналогичный феномен для интегральных операторов дробного порядка. Оказывается, что здесь класс допустимых пространств существенно богаче, а различаются они, например, геометрическим свойствами зарядов, принадлежащих этим пространствам. С одной стороны, эти результаты существенно обобщают и усиливают так называемые неравенства Бургейна–Брезиса, а с другой – имеют важные связи с задачами современной геометрической теории меры.