Методы теории возмущений в задаче о параметрическом резонансе для линейных периодических гамильтоновых систем

Рассматривается линейная периодическая гамильтонова система (ЛГПС)
\begin{equation} \frac{dx}{dt} =JA_0(t)x\,, \quad x\in R^{2N} \end{equation}
где $A_0(t)$ – вещественная симметрическая матрица, элементы которой являются непрерывными и $T$-периодическими функциями, а матрица $J$ определена равенством: $ J = \left[
\begin{array} {cccc} 0 & I\\ - I & 0 \end{array}
\right]\,; $ здесь $I$ – единичная $(N\times N)$ матрица.
В докладе обсуждаются вопросы о сильной устойчивости системы (1), а также связанные с ними вопросы о поведении дефинитных и индефинитных мультипликаторов этой системы при переходе от (1) к возмущенной ЛПГС вида:
\begin{equation} \frac{dx}{dt} =JA(t\,,\varepsilon)x \,, \qquad x\in R^{2N} \end{equation}
зависящей от скалярного или векторного параметра $\varepsilon\,.$ Здесь $A(t,\varepsilon)$ – вещественная симметрическая матрица, элементы которой являются непрерывными и $T$-периодическими по $t$ функциями и непрерывно дифференцируемо зависят от малого параметра $\varepsilon$. При этом выполнено равенство: $A(t,0)\equiv A_0(t)$.
Основное внимание в докладе будет уделено вопросу о построении формул первого приближения для возмущений кратных мультипликаторов системы (1) в следующих основных случаях, когда эта система имеет:

• кратный (кратности 2) полупростой мультипликатор $\mu_0$ так, что $|\mu_0|=1$ и $\mu_0\ne\pm 1$;
• кратный (кратности 2) неполупростой мультипликатор $\mu_0$ так, что $|\mu_0|=1$ и $\mu_0\ne\pm 1$;
• мультипликатор $1$ или $-1$ кратности 2.

Полученные формулы первого приближения для возмущения мультипликатора $\mu_0$ будут использованы для изучения задачи анализа устойчивости по Ляпунову ЛПГС (2). Исследование системы (1) базируется на методах теории возмущения [1] и развитием некоторых результатов, полученные в [2].