Формы Якоби и системы корней

Формы Якоби впервые возникли в работах И.И. Пятецкого-Шапиро как коэффициенты в разложении в ряд Фурье модулярных форм Зигеля рода $2$. Более подробно они были исследованы М. Айхлером и Д. Загье в их совместной работе "The Theory of Jacobi Forms", именно в этой работе возникло разделение форм Якоби на голоморфные, параболические и слабые, в зависимости от их разложения в ряд Фурье. В 1992 году К. Виртмюллер обобщил понятие форм Якоби, связав их с системами корней, и доказал, что для каждой классической системы корней, кроме $E_8$, соответствующая алгебра слабых форм Якоби полиномиальна. Однако в его работе не все образующие приведены в явном виде, который бывает полезен в приложениях. Например, в работах М. Бертолы при помощи образующих для систем корней $A_n$ и $B_n$ строятся плоские координаты на подходящих многообразиях Фробениуса.