Сходимость сферических средних для действий фуксовых групп (по совместной работе с А.И. Буфетовым и К. Сириес)

Для сохраняющего меру действия (дискретной) группы G на вероятностном пространстве (X,m) нет одного «правильного» способа определить аналог эргодической теоремы. В общем случае эргодические теоремы рассматривают для функции f из L^1(X,m) последовательность S_n(f) усреднений — выпуклых комбинаций выражений вида f(T_g(x)). Например, для действия группы Z (т.е. одного отображения) можно рассмотреть комбинацию действий элементов {0,1,…,n-1} с равными весами: S_n(f)(x)=[ f(x) + f(T(x)) + f(T^2(x)) + … + f(T^{n-1}(x)) ] / n, тогда сходимость этих средних была установлена Биркгофом и фон Нейманом в 1920-30-хх гг.
Мы будем рассматривать более сложные группы, и здесь можно применить такой подход: если задан симметричный набор образующих O группы G, то на группе задана норма (длина самого короткого представления элемента), а тогда можно в качестве S_n рассмотреть средние по шарам или сферам радиуса n в этой группе (тоже с равными весами). Общих результатов для таких средних для широких классов групп экспоненциального роста нет. Первый результат о сходимости этих сферических средних — для свободной группы — был получен А.И. Буфетовым в 2002 г.
Я расскажу о недавнем расширении этого результата на действия фуксовых групп (то есть дискретных группы движений плоскости Лобачевского). А именно, зафиксируем фундаментальную область R для этой группы, тогда задан симметричный набор O образующих группы, переводящих R во все смежные по стороне области. Действие элементов группы на R задаёт замощение плоскости Лобачевского областями, конгруэнтными R. Мы предположим, что для этого замощения выполнено условие ровных углов (even corners): в каждой вершине сходится 2n отрезков, разбивающихся на пары, и отрезки в паре образуют развёрнутый угол. Это локальное условие можно переформулировать глобально так: если отрезок геодезической лежит на границе замощения (=объединения границ всех его областей), то и вся геодезическая лежит на этой границе. Нам удалось доказать, что для такой группы и набора образующих последовательность сферических средних сходится почти всюду для функций из LlogL(X,m) (в частности, для функций из L^p(X,m) при p>1).
Для понимания доклада не требуются предварительные знания по гиперболической геометрии или эргодической теории.