Эллиптические симметрические функции и эллиптическая алгебра Динга-Иохара-Мики

В первой части доклада мы введем новый базис в пространстве симметрических функций, состоящий из эллиптических деформаций полиномов Макдональда. Эти полиномы образуют кольцо, причем эллиптические аналоги коэффициентов Литтлвуда-Ричардсона зануляются тогда же, когда зануляются и недеформированные коэффициенты (можно условно говорить, что не возникает новых слагаемых в разложении тензорного произведения двух представлений по неприводимым). Ненулевые коэффициенты факторизуются в произведения тета-функций. Мы определим некоторый поднабор этих коэффициентов явно, и покажем их связь с эллиптическим гамильтонианом системы Руйсенарса-Шнайдера. Мы также обсудим p-q дуальность и связь полученных нами полиномов с гамильтонианами Коротеева-Шакирова.
Во второй части доклада мы рассмотрим алгебру Динга-Иохара-Мики (ДИМ) — квантовую деформацию двухпетлевой алгебры, играющую важную роль во многих разделах математической физики. Из работ Й. Саито известна эллиптическая деформация этой алгебры, в которой тригонометрические структурные функции заменены на эллиптические. Мы докажем, что эллиптическая алгебра ДИМ, введенная Саито, на самом деле изоморфна прямой сумме тригонометрической алгебры ДИМ и дополнительной алгебры Гейзенберга. Мы также рассмотрим теорию представлений эллиптической алгебры, которая оказывается связана с эллиптическими симметрическими функциями, и сделаем некоторые предположения относительно структуры ее копроизведения.