Сумма котангенсов при различных сдвигах аргумента, связанная с гипотезой Римана

Сумма котангенсов вида
$$ c_{0}(r)\,=\,\sum\limits_{m=1}^{b-1}\frac{m}{b}\cot{\Bigl(\frac{\pi m}{b}\Bigr)} $$
Занимает центральное место в критерии Нимана-Берлинга для гипотезы Римана. В ряде совместных работ докладчика и М.Т. Рассиаса, а также в диссертационной рабое М. Рассиаса были исследованы моменты и распределение этой суммы котангенсов как функции различных наборов переменных: при меняющемся $r$ и большом фиксированном $b$, для $r$, пробегающего значения простых чисел и большого фиксированного простого $b$. Ими была обнаружена тесная связь этих задач с суммой
$$ g(\alpha)\,:=\,\sum\limits_{l=1}^{+\infty}\frac{1-2\{l\alpha\}}{l},\quad \alpha\in (0,1), $$
где $\{u\} := u-[u]$, $u \in \mathbb{R}$. В докладе будет дан краткий обзор перечисленных результатов, однако основное внимание будет уделено совместному распределению величин
$$ c_{0}\Bigl(\frac{r+a_{l}}{q}\Bigr),\quad 1\leqslant l\leqslant L, $$
где $a_{1}, \ldots , a_{L}$ – различные неотрицательные целые числа. Основными инструментами при их исследовании служат оценки тригонометрических сумм в конечных полях, принадлежащие Вейлю, а также Фуври и Мишелю.

^* Conference identificator: 947 3270 9056 Password: 555834