О постоянной, возникающей в одном дифференциальном уравнении

В докладе рассматривается следующее дифференциальное уравнение, которое возникает в задачах теплопроводности. Пусть $\tau_1 = 1$ и пусть
$$\begin{equation}\label{lab_1} \sum_{j=1}^{n}\left(\sum_{s=j}^{n}\tau_{s}\right)^{-1} = 1 \end{equation}$$
при $n\geqslant 2$. Требуется определить асимптотическое поведение $\{\tau_n \}$. Эта задача подобна $1$-мерной задаче, впервые исследованной Мышкисом [1]. Ранее нами был получен следующий общий результат о последовательности $\{\tau_n \}$ (см. [2]).

Theorem 1. Пусть $g: \mathbb{R^{+}} \to \mathbb{R^+}$ непрерывная строго убывающая функция с условием $g(0^{+}) \geqslant 1$, и пусть $g(\infty)=0$. Пусть, далее, $\{\tau_{n}\}$ – последовательность, определенная рекуррентным соотношением
$$\sum_{j=1}^{n}g\left(\sum_{s=j}^{n}\tau_{s}\right) = 1.$$
Если производная $(\log g)''$ неотрицательна, то последовательность $\{\tau_n \}$ возрастает.

Из Теоремы 1 следует, что $\{ \tau_n \}$, определенная ($\ref{lab_1}$), возрастает, поскольку функция $\log (x^{-1})$ выпукла на $\mathbb{R}^{+}$.
В 2013 г. Нам удалось доказать [3] следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть $\{\tau_n \}$ - рекуррентная последовательность, определенная ($\ref{lab_1}$). Тогда
$$\tau_n = \log{n} + \gamma + O\biggl(\frac{1}{\log n}\biggr),$$
где $\gamma$ - постоянная Эйлера.

Поскольку $4\pi au_{0}t_{n}= b \sum_{s=1}^n \tau_s$, отсюда сразу получается

Следствие 3. «Тепло-временная» последовательность $\{t_n \}$, определяемая рекурсивно уравнением ($\ref{lab_1}$) и приведенным выше условием удовлетворяет соотношению
$$t_{n}= \frac{b}{4\pi a u_0} (n\log n +(\gamma -1)n) +O\biggl(\frac{n}{\log n}\biggr).$$


Применяя технику из работы [3], мы доказываем справедливость следующего утверждения.

Теорема 4. Пусть $\{\tau_n \}$ - последовательность, определенная рекуррентным соотношением ($\ref{lab_1}$). Тогда
$$\tau_{n} = \log{n} + \gamma + \frac{\delta}{\log{n}} + O\biggl(\frac{\log \log{n}}{(\log{n})^{2}}\biggr),$$
где
$$\delta = \log 2+ \int_{1/2}^{1}\frac{1-x}{x^2} \log(1-x)\,dx + \sum_{j=2}^{\infty} \frac{(-1)^{j}}{j}\int_{0}^{1/2}\frac{x^{j-2}}{(1-x)^{j-1}}\,dx .$$
При этом $\delta < \infty$ по признаку сходимости для знакопеременных рядов.

[1] A.D. Myshkis, On a recurrently defined sequence, J. Difference Equ. Appl., 3 (1997), pp. 89–91.

[2] J.Y. Chen, On a difference equation motivated by a heat conduction problem, Taiwanese J. Math., 12 (2008), pp. 2001–2007.

[3] J.Y. Chen, Y. Chow, On the convergence rate of a recurrsively defined sequence, Math. Notes, 93 (2013) pp. 238–243.

^* Conference identificator: 947 3270 9056 Password: 555834