Проблемы Бернсайдовского типа для конечно-определенных структур

Проблемы Бернсайдовского типа относятся к числу центральных в современной алгебре. Фундаментальный вклад П.С. Новикова и С.И. Адяна в данную проблематику, революционизировал комбинаторную алгебру. В настоящее время все примеры бесконечных периодических групп являются бесконечно определенными. Известна проблема построения конечно представленной бесконечной периодической группы https://ru.wikipedia.org/wiki/Открытые_математические_проблемы
Л. Н. Шеврин и М.В. Сапир спросили в Свердловской тетради (1989): существует ли конечно определенная бесконечная нильполугруппа? Ответ на этот вопрос был получен А.Я.Беловым и И.А.Ивановым-Погодаевым для степени нильпотентности, равной девяти. Техника доказательства использует построение двумерных комплексов, пути на которых кодируют элементы полугруппы, а клетки отвечают соотношениям. Если применять соотношения к периодическому пути, то возникает область с запрещенным фрагментом, который будет содержать продеформированный путь.
Еще один подход к построению конечно-определенных алгебраических структур с нужными свойствами использует клеточные автоматы. Интерпретируя образующую полугруппы как состояние конечного автомата, а ее элементы – как цепочки локально взаимодействующих автоматов, можно построить конечно определенную полугруппу с нецелой размерностью Гельфанда-Кириллова. Данный подход позволил И.Иванову-Погодаеву и С. Малеву также построить ассоциативную алгебру с конечным базисом Гребнера, но алгоритмически неразрешимыми проблемами проверки, является ли данный элемент делителем нуля или является ли данный элемент нильпотентным (оба вопроса были поставлены В. Н. Латышевым), а также (И.Иванов-Погодаев, С. Малев, О. Сапир) построить конечно определенную полугруппу, содержащую бесконечный идеал, не содержащий квадратов.
Поставленный В.Н. Латышевым вопрос о существовании конечно определенного бесконечномерного нилькольца остается открытым.
Авторам представляется перспективным направление интерпретации алгебраических «монстров», построенных «геометрическими» методами, в автоматных терминах. В докладе будет намечен подход к получению на этом пути результатов, связанных с известной теоремой Гача и рассмотрениями Курдюмова и Левина относящимся к клеточным автоматам.