Квантовые дифференциалы и пространства функций

Одной из задач некоммутативной геометрии является перевод основных понятий математического анализа на язык банаховых алгебр. Этот перевод осуществляется процедурой квантования, устанавливающей соответствие между функциональными пространствами и алгебрами операторов в гильбертовом пространстве $H$. При этом дифференциал d$f$ функции $f$ (в том случае, когда он корректно определен) заменяется коммутатором операторного образа функции $f$ при указанной процедуре с некоторым оператором симметрии $S$, являющимся самосопряженным оператором в $H$ с квадратом $S^2=I$. Образ d$f$ при квантовании называется квантовым дифференциалом $f$, который корректно определен даже для негладких функций $f$. Возникающее операторное исчисление называется квантовым.

В нашем докладе будет приведен целый ряд утверждений из этого исчисления, дающих интерпретацию различных идеалов в алгебре ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве в терминах функциональных пространств. Основное внимание уделяется операторам Гильберта–Шмидта.

Роль оператора симметрии $S$ в этом случае исполняет преобразование Гильберта. Мы рассматриваем также пространства функций нескольких вещественных переменных. При этом оператор симметрии определяется с помощью операторов Рисса и матриц Дирака.