Суммы Клоостермана с простыми числами и их применение

Пусть $q\ge 3$ – произвольное целое число, и пусть для целого $n$, взаимно простого с $q$, символ $\overline{n}$ обозначает вычет, обратный к $n$ по модулю $q$, т.е. решение сравнения $n\overline{n}\equiv 1 \pmod{q}$. Тригонометрическая сумма вида
$$ S(q;a,b)\,=\,\sum\limits_{\substack{n = 1 \\ (n,q)=1}}^{q}\exp{\biggl(2\pi i\,\frac{a\overline{n}+bn}{q}\biggr)} \tag{1} $$
называется полной суммой Клоостермана по модулю $q$. Суммы (1) естественным образом возникают при решении ряда задач аналитической теории чисел.

Наряду с (1) рассматриваются суммы более общего вида
$$ S(q;a,b;\mathcal{A})\,=\,\sum\limits_{n\in \mathcal{A}}\exp{\biggl(2\pi i\,\frac{a\overline{n}+bn}{q}\biggr)}, \tag{2} $$
также называемые суммами Клоостермана, в которых переменная пробегает некоторое множество $\mathcal{A}$ значений, взаимно простых с модулем $q$. В случае, когда множество $\mathcal{A}$ целиком содержится в приведённой системе вычетов $\mathbb{Z}_{q}^{*}$ по модулю $q$, и при этом $|\mathcal{A}|<\varphi(q)$, такие суммы называются, в отличие от (1), неполными суммами Клоостермана.

Нетривиальные оценки сумм (2), т.е. неравенства $|S(q;a,b;\mathcal{A})|\leqslant|\mathcal{A}|\Delta$, где $0<\Delta<1$, позволяют исследовать распределение величин $a\overline{n}+bn$, $n\in \mathcal{A}$, в кольце вычетов $\mathbb{Z}_{q}$, устанавливать разрешимость некоторых сравнений, содержащих величины $\overline{n}$, $n\in \mathcal{A}$, и т.д.

Частным случаем (2) являются суммы Клоостермана с простыми числами, т.е. суммы
$$ S_{1}(q;a,b;N)\,=\,\mathop{{\sum}'}\limits_{p\leqslant N}\exp{\biggl(2\pi i\,\frac{a\overline{p}+bp}{q}\biggr)},\tag{3} $$
где штрих в знаке суммы означает, что $p\nmid q$. Величина $N$ называется длиной суммы $S_{1}$. Наибольшую трудность представляет оценка “короткой” суммы $S_{1}$, длина которой связана с модулем неравенством $N\leqslant q^{1-c}$, $0<c<1$.

Оценкам сумм (3) при различных предположениях относительно $q, N, a, b$ посвящены работы Э. Фуври и П. Мишеля [1], М.З. Гараева [2], Ж. Бургейна [3], Э. Фуври и И.Е. Шпарлинского [4], Р. Бейкера [5], Ж. Бургейна и М.З. Гараева [6] и ряд статей докладчика.

В докладе будет рассказано о новой оценке суммы $S_{1}$, справедливой для произвольного модуля $q\geqslant q_{0}(\varepsilon)$ и любых $a,b$, взаимно простых с $q$, при условии, что длина суммы $N$ удовлетворяет неравенствам $q^{\,3/4+\varepsilon}\leqslant N\leqslant q^{\,3/2-\varepsilon}$. Особое внимание будет уделено приложениям этой оценки к ряду задач теории сравнений.

В качестве примера будет рассмотрено сравнение вида
$$ g(p_{1})\,+\,g(p_{2})\,+\,\ldots\,+\,g(p_{k})\,\equiv\,m\pmod{q}, \tag{4} $$
в котором $g(x) = a\overline{x}+bx$, $k\geqslant 3$ - фиксированное целое число, а переменные $p_{1},\ldots,p_{k}$ принимают значения простых чисел “короткого” промежутка $(1,N]$.

Упомянутая выше оценка позволяет получить для числа $I_{k}(q,N) = I_{k}(q,N;a,b,m)$ решений (4) выражение вида
$$ I_{k}(q,N)\,=\,\frac{(\pi(N))^{k}}{q}\,\bigl(\varkappa_{\,k}\,+\,O(\Delta_{k})\bigr),\tag{5} $$
где $\pi(N)$ – количество простых чисел, не превосходящих $N$, $\Delta_{k} = \Delta_{k}(q,N)\to 0$ при $q\to +\infty$, а $\varkappa_{\,k} = \varkappa_{\,k}(q;a,b,m)$ - некоторая мультипликативная функция параметра $q$.

Величина $\varkappa_{\,k}(q)$ является своеобразным аналогом “особого” (“сингулярного”) ряда, возникающего при решении аддитивных задач с помощью кругового метода. Отыскание всех троек $(a,b,m)\pmod{q}$, при которых формула (5) является асимптотической, является нетривиальной задачей, представляющей и самостоятельный интерес. В частности, можно доказать существование абсолютной постоянной $c_{1}>0$ такой, что для любого модуля $q$ с условием $(q,6)=1$ неравенство
$$ \varkappa_{k}(q;a,b,m)\,\geqslant\,c_{1} $$
выполняется равномерно по всем $a,b,m$ и $k\geqslant 7$ (в случае, если верна расширенная гипотеза Римана - и при $k\geqslant 5$). В случаях $q = 2^{n}$, $q = 3^{n}$, $n\geqslant 1$, можно указать значения $k$ и отвечающие им тройки $(a,b,m)$, для которых $\varkappa_{\,k}(q;a,b,m)=0$.

Список литературы

1. E. Fouvry, P. Michel, “Sur certaines sommes d'exponentielles sur les nombres premiers”, Ann. scient. Éc. Norm. Sup., 31:1 (1998), 93–130        
2. М. З. Гараев, “Оценка сумм Клоостермана с простыми числами и применение”, Матем. заметки, 88:3 (2010), 41–64    
3. J. Bourgain, “More on the sum -product phenomenon in prime fields and its applications”, Int. J. Number Theory, 1:1 (2005), 1–32      
4. E. Fouvry, I. E. Shparlinski, “On a ternary quadratic form over primes”, Acta Arithmetica, 150:3 (2011), 285–314        
5. R. C. Baker, “Kloosterman sum with prime variable”, Acta Arith, 156:4 (2012), 351–372        
6. Ж. Бургейн, М.З. Гараев, “Сумма множеств, образованных обратными элементами в полях простого порядка, и полилинейные суммы Клоостермана”, Изв. РАН. Сер. матем., 78:4 (2014), 19–72