Аннотация:
Исследование свойств множества точек перегиба плоских неособых кубик является классической темой исследований в алгебраической геометрии. Она имеет богатую и долгую историю. Уже в середине 19-го века Гессе доказал, что это множество является орбитой относительно действия группы $PGL(3,\mathbb C)$ на множестве девяток точек проективной плоскости. Подгруппа $Hes$ в $PGL(3,\mathbb C)$ порядка $216$, оставляющая инвариантным множество точек перегиба кубики Ферма, была определена Жорданом и названа им группой Гессе. Машке в 1889 году описал инварианты группы $Hes$.
Множество плоских кубик параметризовано точками проективного пространства $\mathbb P^9$, особым кубикам соответствуют точки гиперповерхности $\mathcal B$ – дискриминанта множества плоских кубик, и множество $\mathcal I_0$ точек перегиба неособых кубик естественным образом можно рассматривать как девятимерное подмногообразие в $\mathbb P^9\times\mathbb P^2$, для которого ограничение $p$ на $\mathcal I_0$ проекции $\mathbb P^9\times\mathbb P^2\to\mathbb P^9$ является девятилистным неразветвленным накрытием, $p:\mathcal I_0\to \mathbb P^9\setminus \mathcal B$. Харрисом в 1979 году было доказано, что $\mathcal I_0$ является неприводимым многообразием и глобальная группа монодромии накрытия $p$ – это группа $Hes$.
В. С. Куликов в своей работе вычислил локальные группы монодромии накрытия $p$ для всех точек $z\in \mathcal B$. Кроме того, им вычислена группа когомологий $H^1(\mathcal I,\mathbb C)$ разрешения особенностей $\mathcal I$ замыкания многообразия $\mathcal I_0$ в $\mathbb P^9\times\mathbb P^2$, а также вычислены все основные инварианты (иррегулярность, геометрический род и квадрат канонического класса) прообразов в $\mathcal I$ общих двумерных линейных систем плоских кубик.
Обратная связь: