Некоторые интегральные уравнения типа Урысона и Гаммерштейна на полуоси

Рассматриваются следующие нелинейные интегральные уравнения:
а) Уравнение Урысона на полуоси:
\begin{equation} f(x)=\int\limits_0^\infty K(x,t,f(t))\,dt, \qquad x\in(0,+\infty) \tag{1} \end{equation}
относительно искомой функций $f(x)$, где $0\le K\in C(\Omega)$, $\Omega\equiv R_+\times R_+\times R$, $K(x,t,y)\uparrow$ по $y$.
b) Уравнение типа Гаммерштейна с консервативным ядром:
\begin{equation} \varphi=\int\limits_0^\infty\tilde{K}(x,t)Y(\varphi(t))dt,\ \ x\in(0,+\infty), \tag{2} \end{equation}
где $K(x,t)$ – имеет следующую структуру:
\begin{equation} \tilde{K}(x,t)=\frac{1}{2}\int\limits_a^b\alpha(x,s)e^{-\alpha(x,s)|x-t|}\,d\sigma(s). \tag{3} \end{equation}

Здесь $\alpha(x,s)\ge\beta>0$ – измеримая функция на $(0,+\infty)\times[a,b)$, $0\le a<b\le+\infty$, $\sigma\uparrow$ на $[a,b)$, причем
\begin{equation} \int\limits_a^b d\sigma(s)=1. \tag{4} \end{equation}
Здесь $Y(x)=x-\omega(x),$ где
\begin{equation} 0\le\omega\in L_1(0,+\infty)\cap C[0,+\infty), \quad \omega\downarrow \quad\text{на }(0,+\infty). \tag{5} \end{equation}

Из (4), (5) сразу следует, что ядро $\tilde{K}(x,t)$ удовлетворяет условию консервативности:
\begin{equation} \mathop{\mathrm{sup\,ess}}\limits_{x\in(0,+\infty)}\int\limits_0^\infty\tilde{K}(x,t)\,dt=1. \tag{6} \end{equation}
Уравнения (1), (2) кроме самостоятельного математического интереса представляют известный интерес в эконометрике, в кинетической теории газов, в механике, в теории популяции. Уравнение Урысона в основном изучалось на конечном промежутке в предположении, что оператор Урысона и его линейная миноранта являются вполне непрерывными. В настоящей работе доказывается, что если консервативный оператор Винера-Хопфа служит минорантой оператора Урысона, причем функция $K(x,t,y)$ удовлетворяет условию субстохастичности, то уравнение (1) имеет нетривиальное, неотрицательное и ограниченное решение. Точнее справедлива следующая
Теорема 1. Пусть 1) $0\le K\in C(\Omega)$, $K\uparrow$ по $y$,
2) существует неотрицательная функция $K_0\in L_1(-\infty,+\infty)$, $\nu(K_0)\equiv\int\limits_{-\infty}^\infty xK_0(x)\,dx<0$ такая, что $K(x,t,y)\ge K_0(x-t)y$ $\forall\,(x,t,y)\in\Omega$,
3) существует число $\eta>0$, такое что $\mathop{\mathrm{sup\,ess}}\limits_{x\in(0,+\infty)}\int\limits_0^\infty K(x,t,\eta)\,dt\le\eta$.
Тогда уравнение (1) имеет ненулевое, неотрицательное и ограниченное решение $f(x)$, причем $\lim\limits_{x\to\infty} f(x)=\eta$.
В том случае, когда $\tilde{K}(x,t)\equiv K^*(x-t)$, причем $\int\limits_{-\infty}^{+\infty} K^*(x)\,dx=1$ и $\nu(K^*)=0$, уравнение (2) исследовалось в работе [1], а когда $\omega(x)\equiv0$ и ядро $\tilde{K}$ представлена в виде (3), уравнение (2) изучалось в [2]. Там накладывая некоторые условия на функцию $\alpha(x,s)$, было доказано разрешимость этого уравнения и найдена асимптотическое поведение в $+\infty$. Нижеприведенная теорема является обобщением результатов работы [2], в случае, когда $\omega(x)\ne0$. Доказывается следующая
Теорема 2. Пусть выполнены следующие условия
а) существуют $\mathop{\mathrm{inf\,ess}}\limits_{x\in(0,+\infty)}\alpha(x,s)=\beta>0$, $\alpha_0(s)=\mathop{\mathrm{sup\,ess}}\limits_{x\in(0,+\infty)}\alpha(x,s)<+\infty$,
b) сходится интеграл: $\int\limits_0^\infty\int\limits_a^b(1-\frac{\beta}{\alpha(x,s)})\,d\sigma(s)\,dx<+\infty$.
Тогда, если $\omega$ удовлетворяет условию (5), то уравнение (2) имеет нетривиальное и неотрицательное решение с асимптотикой $\varphi(x)=O(x)$ при $x\to+\infty$.

Список литературы

1. Л. Г. Арабаджян, Известия НАН РА, математика, 32:1 (1997), 21–28    
2. Х. А. Хачатрян, Известия НАН РА, математика, 37:4 (2002), 73–80