Квазиклассический подход для асимптотик ортогональных полиномов

Обсуждается подход нахождения асимптотик ортогональных полиномов, основанный на представлении соответствующих рекуррентных соотношений в виде псевдофииренциальных уравнений (или систем псевдодифференцмальных уравнений) и последующего построения их асимптотических решений с помощью канонического оператора Маслова. В качестве примеров мы рассматриваем полиномы Эрмита и их многомерные обобщения. В отличие от подходов основанных на комплексном методе ВКБ и теории изимонодромных деформаций, развитом, в частности, в работах P. Deift, T. Kriecherbauer, K. T.-R. McLaughlin, S. Venakides, X. Zhou, А.Р.Итса, В.Ю.Новокшенова и др., мы не пользуемся «выходом в комплексную плоскость, переходом через линии Стокса и т.д.», а используем объекты, возникающие в теории квазиклассических асимптотик с вещественными фазами (в частности, лагранжевы многообразия). Основная трудность здесь состоит в комплексности главных символов (классических гамильтонианов) псевдодифференциальных операторов, однако для рассматриваемых примеров оказывается возможным разделить вещественную и мнимую части и ограничиться рассмотрением только вещественных гамильтонианов, что позволяет, по крайней мере на формальном уровне, записать ответ в виде стандартного канонического оператора Маслова и затем с помощью ряда упрощений записать асимптотики в эффективной форме в виде функций Эйри сложного аргумента.
Доклад основан на совместной работе с А.Аптекаревым, Д.Туляковым и А.Цветковой.