Непрерывные симметрии разностных интегрируемых уравнений и их связь с интегрируемыми дифференциальными уравнениями

Разностные интегрируемые дифференциальные уравнения допускают симметрии двух типов: дискретные и непрерывные. Параметры последних могут рассматриваться как независимые переменные, что дает процедуру построения интегрируемых дифференциально-разностных и дифференциальных уравнений. Мы начинаем здесь со знаменитого разностного уравнения Хироты и последовательно заменяем дискретные независимые переменные непрерывными по указанной процедуре. Результирующее дифференциальное уравнение оказывается известной более века классической системой Дарбу, описывающей криволинейные системы координат в $\mathbb{R}^3$. Мы рассматриваем некоторые промежуточные уравнения, возникающие в процессе вывода, а также даем описание этих результатов с точки зрения прямой и обратной задач для системы Дарбу.